Bude nové číslo nulita a nová architektúra počítača?

De­le­nie nu­lou
Ak ma­te­ma­tik ale­bo in­for­ma­tik uvi­dí ti­tu­lok v ča­so­pi­se [1]: „1200 let sta­rá otáz­ka vy­řeše­na! Nu­lou lze dělit!“, tak ho to, pri­ro­dze­ne, za­uj­me.

Na na­vo­de­nie at­mos­fé­ry pou­ži­je­me zá­ve­reč­né ci­tá­cie v člán­ku s vý­rok­mi jed­né­ho z auto­rov no­vých (nie úpl­ne) ideí Ja­me­sa An­der­so­na:
Když mně bu­de někdo spo­chyb­ňo­vat, můžu ho praš­tit po hlavě po­čí­ta­čem, kte­rý to do­ve­de... Jsem přip­ra­ven vstou­pit do ma­te­ma­tic­ké aré­ny a ob­há­jit to tam... Když uči­ní­te po­sun v přís­tu­pu a přijměte, že 0/0 je fixní čís­lo, pak jsou mož­né zce­la no­vé rov­ni­ce...

Člá­nok je pí­sa­ný v po­pu­lár­nom štý­le pre šir­šie vrstvy či­ta­te­ľov, tak­že na ilus­trá­ciu:
... po­čí­ta­če prostě nu­lou dělit ne­do­ká­žou. Zkus­te to na své kal­ku­lač­ce. ... je za­pnu­tý auto­pi­lot. Po­kud váš koor­di­ná­tor vy­dě­lí nu­lou, jste mr­tví.

Chví­ľu tr­vá, kým sa dos­pe­je k dvom naj­dô­le­ži­tej­ším bo­dom a tým sa to vlas­tne kon­čí.

Pr­vým pod­stat­ným bo­dom je de­fi­no­va­nie poj­mu nu­li­ta ako no­vé­ho čís­la, pred­bež­ne rep­re­zen­to­va­né­ho vý­ra­zom 0/0 (v ďal­šom texte je ozna­če­né ako Φ). Zo­ber­me ho za­tiaľ jed­no­du­cho ako nu­lu de­le­nú nu­lou a to­to čís­lo Φ bu­de rov­no­cen­né všet­kým os­tat­ným čís­lam.

Ob­sa­hom dru­hé­ho bo­du je, že me­dzi čís­la sú za­ra­de­né aj čís­la plus ne­ko­neč­no (∞), mí­nus ne­ko­neč­no (-∞), bez ďal­šie­ho vy­svet­le­nia. Na­priek to­mu je to in­for­má­cia, kto­rá prob­le­ma­ti­ku v znač­nej mie­re ma­te­ma­tic­ky sprie­hľad­ňu­je. Spo­meň­me si na pos­led­ný roč­ník stred­nej, resp. na pr­vé roč­ní­ky vy­so­kej ško­ly (ne­hu­ma­nit­né­ho sme­ru). Is­te sme sa stret­li s poj­mom li­mi­ta a prí­pad, keď v me­no­va­te­li ne­ja­ké­ho vý­ra­zu sa hod­no­ta li­mit­ne blí­ži­la k nu­le, sa čas­to pre­be­ral. Ak ju vie­me spo­čí­tať, má­me tie­to mož­nos­ti:

Pre hod­no­tu v či­ta­te­li, kto­rá sa li­mit­ne blí­ži ku kon­krét­ne­mu klad­né­mu ale­bo zá­por­né­mu čís­lu, je vý­sle­dok „po de­le­ní nu­lou“ buď ∞, ale­bo -∞.

Ak hod­no­ta či­ta­te­ľa je li­mit­ne nu­la, vý­sled­kom mô­že byť čo­koľ­vek, do­kon­ca aj ∞ ale­bo -∞.

A tu je pres­ne pries­tor na nu­li­tu, te­da rie­še­nie si­tuácie ty­pu 0/0. Z už uve­de­ných in­for­má­cií sa dá ča­kať, že všet­ky arit­me­tic­ké ope­rá­cie mô­žu byť s no­vý­mi čís­la­mi dob­re de­fi­no­va­né. V ta­kej­to dob­re vy­me­dze­nej arit­me­ti­ke by ne­do­chá­dza­lo k prob­lé­mom s ne­de­fi­no­va­ný­mi hod­no­ta­mi, nás­led­ne aj v prak­tic­kom pou­ži­tí napr. v po­čí­ta­čoch.

V člán­ku sí­ce inter­ne­to­vý od­kaz nie je, ale cez pou­ži­té me­ná a brit­ské uni­ver­zit­né server­y nie je prob­lém sa dop­ra­co­vať k zdro­jom [2], kto­ré sú pod­kla­dom pre de­fi­ní­cie, tvr­de­nia a úva­hy v nas­le­du­jú­cej čas­ti.

Nu­li­ta, čí­sel­ná os a zá­klad­né vzťa­hy
Ak mno­ži­nu reál­nych čí­sel obo­ha­tí­me o no­vé hod­no­ty Φ, ∞, -∞, na­zý­va­me čís­la z tej­to obo­ha­te­nej mno­ži­ny tran­sreál­ne (tran­sreal, ana­lo­gic­ky v an­glic­kej ter­mi­no­ló­gii tran­sra­tio­nal pre ra­cio­nál­ne a tran­sin­te­ger pre ce­lé).

V ďal­šom texte bu­de­me jed­no­du­cho ho­vo­riť o čís­lach aj pre Φ, ∞, -∞.

Čís­la ∞, -∞ vie­me vo vzťa­hu k čí­sel­nej osi umies­tniť vpra­vo a vľa­vo tak, že všet­ky bež­né čís­la sú v us­po­ria­da­ní me­dzi tý­mi­to hra­nič­ný­mi hod­no­ta­mi. Pre nu­li­tu tam mies­to ne­má­me. Do­kon­ca vo všeo­bec­nos­ti pla­tí, že ak sa hod­no­ta Φ vy­sky­tu­je v ne­ja­kej pod­mien­ke, pod­mien­ka nep­la­tí ok­rem prav­di­vé­ho prí­pa­du rov­nos­ti (napr. vý­raz x=Φ, ak hod­no­ta pre­men­nej x je Φ). Ná­zor­nú pred­sta­vu umies­tne­nia všet­kých čí­sel pred­sta­vu­je sché­ma, v kto­rej čís­lo Φ je mi­mo li­neár­ne­ho us­po­ria­da­nia os­tat­ných čí­sel:


Pre kaž­dé čís­lo x pla­tí prá­ve jed­na zo šty­roch mož­nos­tí:

x < 0    x > 0    x = 0    x = Φ

De­tail­né axioma­tic­ké po­mer­ne roz­siah­le vy­me­dzenie arit­me­ti­ky je nad rá­mec prís­pev­ku.

Pod­stat­ný zá­ver je ten, že pla­tí:



Všet­ky bež­né čís­la vie­me skonštruo­vať z troch zá­klad­ných čí­sel -1, 0, 1 a vi­dí­me, že to pla­tí aj pre tri no­vo za­ve­de­né.

Len pre za­ují­ma­vosť, ok­rem pri­ro­dze­ne oča­ká­va­ných tvr­de­ní, napr.:

sú aj niek­to­ré me­nej zrej­mé:


Po­rov­na­nia

ma­jú pre kaž­dé x hod­no­tu nep­rav­da.

Z vlas­tnos­tí Φ v po­rov­ná­va­cích pod­mien­kach a sprá­va­nia sa v arit­me­tic­kých vý­ra­zoch vy­plý­va, že v čis­tej po­do­be je tu pres­ná ana­ló­gia s hod­no­tou NULL z da­ta­bá­zo­vých ja­zy­kov.

Ar­chi­tek­tú­ra po­čí­ta­ča
Je to po­mer­ne roz­siah­la a ot­vo­re­ná té­ma. Na tom­to mies­te nie je cie­ľom opí­sať pod­rob­nos­ti ar­chi­tek­tú­ry z har­dvé­ro­vé­ho hľa­dis­ka, i keď, sa­moz­rej­me, tá­to ob­lasť má svo­je opod­stat­ne­nie.

Mi­ni­mál­ne tie­to prak­tic­ké dôs­led­ky ma­jú veľ­ký vý­znam:

1. Na úrov­ni sof­tvé­ru a har­dvé­ru sa od­bú­ra­jú všet­ky vý­ni­moč­né sta­vy a za­sta­ve­nia v dôs­led­ku ap­li­ká­cie arit­me­tic­kej ope­rá­cie.
2. Sa­mot­ný pro­ce­sor mô­že byť ove­ľa jed­no­duch­ší.

Úva­hy o bi­to­vej rep­re­zen­tá­cii no­vých čí­sel však mô­žu byť za­ují­ma­vé. Čís­la 0 (všet­ky bi­ty 0), -1 (všet­ky bi­ty 1), 1 (pos­led­ný bit 1 os­tat­né bi­ty 0) so svo­jou bi­to­vou rep­re­zen­tá­ciou v po­čí­ta­či sú zná­me. Vý­ni­moč­ná je i rep­re­zen­tá­cia s pr­vým bi­tom 1 a os­tat­ný­mi s hod­no­tou 0, ur­če­ná zvy­čaj­ne pre naj­men­šie zá­por­né čís­lo. To by moh­la byť al­ter­na­tí­va pre Φ. Ale čo s ∞ a -∞, obe­tu­jú sa ne­ja­ké dve bi­to­vé kom­bi­ná­cie? Nú­ka sa i rie­še­nie s do­da­toč­ným bi­tom, napr. pre čís­la 0, 1, -1.

Ako to je, resp. bu­de v sku­toč­nos­ti, to zá­vi­sí od tvor­cov kon­krét­nej ar­chi­tek­tú­ry a ur­či­te to preš­lo, resp. prej­de ne­ja­ký­mi eta­pa­mi štan­dar­di­zá­cie.

Prog­ra­mo­va­nie
Bi­to­vá rep­re­zen­tá­cia v ko­neč­nom dôs­led­ku ne­mu­sí byť dô­le­ži­tá pre syn­tax prog­ra­mo­va­cích ja­zy­kov. Vy­sta­čí­me asi s tro­mi no­vý­mi kon­štan­ta­mi. Si­mu­lo­va­nie no­vej arit­me­ti­ky v te­raj­ších ja­zy­koch nap­rog­ra­mo­va­ním no­vej trie­dy (mož­no už exis­tu­je) nie je prob­lém, tak ako ne­bol prob­lém si­mu­lo­vať hod­no­tu NULL. Ur­či­te je však roz­diel v efek­tív­nos­ti, či­ta­teľ­nos­ti a vy­jad­ro­va­cích mož­nos­tiach, ak da­ná arit­me­ti­ka je reali­zo­va­ná pria­mo inštruk­cia­mi po­čí­ta­ča a nie je pot­reb­né prís­luš­né ošet­re­nie vý­ni­miek (excep­tion han­dling).

No­vé čís­la mô­žu zme­niť aj prís­tup k za­uží­va­ným spô­so­bom prog­ra­mo­va­nia a, sa­moz­rej­me, aj k prog­ra­mo­va­cím ja­zy­kom a me­to­do­ló­gii prog­ra­mo­va­nia. Je tu ur­či­te ši­ro­ký pries­tor na roz­lič­né úva­hy. Len ilus­tra­tív­ne spo­me­nie­me ob­las­ti prá­ce s inter­val­mi a ini­cia­li­zá­ciou.

Ope­rá­cie s inter­val­mi mô­žu rov­no pou­ží­vať v pre­men­ných hod­no­tu ∞ a rôz­ne konštruk­cie čas­to pou­ží­va­né hlav­ne v da­ta­bá­zach zjed­no­du­šiť a sprie­hľad­niť. Pred­pok­la­daj­me nap­rík­lad, že po­lož­ka max ur­ču­je hor­né oh­ra­ni­če­nie a mô­že na­do­bú­dať kon­krét­nu hod­no­tu ale­bo NULL na vy­jad­re­nie to­ho, že tes­to­va­nie hod­no­ty zho­ra neoh­ra­ni­ču­je­me. Na kon­tro­lu, či ne­ja­ká pre­men­ná x je hod­no­tou max oh­ra­ni­če­ná, bol pot­reb­ný vý­raz:

max IS NULL OR x < max

sta­čí však uva­žo­vať pre max na­mies­to NULL al­ter­na­tí­vu ∞ a po­tom je pri­ro­dze­né a jed­no­du­ché:

x < max

Do­kon­ca je to v po­riad­ku aj pre x = Φ, či­že pod­mien­ka je v tom­to prí­pa­de nep­rav­di­vá, čo asi chce­me. Nap­rík­lad ak v pod­mien­ke cyk­lu má­me vý­raz x < ∞, nemusí to byť nekonečný cyklus.

Pri pou­ži­tí pre­men­nej, aj keď sa spo­ľah­ne­me na to, že kom­pi­lá­tor za­bez­pe­čí ini­cia­li­zá­ciu pries­to­ru pre­men­ných zvy­čaj­ne na nu­ly, ne­vie­me roz­lí­šiť, či má­me v pre­men­nej v da­nom mo­men­te hod­no­tu z ini­cia­li­zá­cie ale­bo vý­sle­dok ne­ja­kej ope­rá­cie.

Ak uro­bí­me ini­cia­li­zá­ciu na hod­no­ty Φ (s vý­zna­mom ne­de­fi­no­va­ná hod­no­ta), ta­kis­to to sí­ce ne­vie­me roz­lí­šiť, ale z lo­gic­ké­ho hľa­dis­ka sme bliž­šie k reali­te. Expli­cit­ný prí­kaz, kto­rý spô­so­bí napl­ne­nie hod­no­tou Φ, bu­de asi len s vý­zna­mom: ini­cia­li­zá­cia ne­de­fi­no­va­nou hod­no­tou. Tak­že ak má pre­men­ná tú­to hod­no­tu, buď pôj­de o vý­sle­dok „zlej“ ope­rá­cie, napr. de­le­nia nu­lou, ale­bo o prí­pad ne­napl­ne­nej pre­men­nej. To má pri pou­ži­tí v prog­ra­me po­dob­né dôs­led­ky. Te­da to, že pra­cu­je­me s ne­de­fi­no­va­nou hod­no­tou.

Za­mys­le­nie na zá­ver
Sku­pi­na oko­lo Ja­me­sa An­der­so­na za­šla na teo­re­tic­kej úrov­ni ove­ľa ďa­lej, zjed­no­du­še­ne po­ve­da­né, no­vé roz­ší­re­nie arit­me­ti­ky po­va­žu­je za dob­ré aj pre všet­ky ob­las­ti ma­te­ma­ti­ky, kde sa pra­cu­je s čís­la­mi.

Zdá sa, že vo väč­ši­ne ob­las­tí je to tak, ale mož­no v ne­ja­kých veľ­mi špe­ciál­nych sú ne­jas­nos­ti. Pre­to je skep­tic­izmus na stra­ne ma­te­ma­ti­kov ako pred­sta­vi­te­ľov exak­tnej ve­dy po­cho­pi­teľ­ný.

Ťaž­ko po­ve­dať, či a ako to mô­že ov­plyv­niť te­raj­šiu teóriu. Ob­las­ti, v kto­rých sa po­hy­bu­je in­for­ma­ti­ka, sú skôr ko­neč­né­ho cha­rak­te­ru a pou­ži­té ob­jek­ty a konštruk­cie sú ob­siah­nu­té v ne­ja­kom spo­čí­ta­teľ­nom pries­to­re.

Ak spres­ne­nia na ma­te­ma­tic­kej úrov­ni v špe­ciál­nych ob­las­tiach po­ve­dú napr. k iné­mu všeo­bec­nej­šie­mu axioma­tic­ké­mu vy­me­dzeniu, ale te­raj­ší roz­sah a ob­sah roz­ší­re­nej arit­me­ti­ky sa nez­me­ní ale­bo bu­de kon­zis­ten­tne ob­siah­nu­tý v ne­ja­kom po­dob­nom ro­zum­nom cel­ku, to in­for­ma­ti­kom a tvor­com po­čí­ta­čov pre­ká­žať asi ne­bu­de.

Z his­tó­rie vie­me, že za­ve­de­nie čís­la 0 tr­va­lo veľ­mi dl­ho, tak­že uvi­dí­me, ako to bu­de s nu­li­tou. Tre­ba však jas­ne po­ve­dať, že aj ne­ko­neč­no sa tým pre­ne­sie z čis­to ma­te­ma­tic­ko-teo­re­tic­kej ro­vi­ny do sve­ta bež­ných čí­sel.

Po­čí­tač ľu­bo­voľ­ne veľ­ký (ale ko­neč­ný) v zmys­le ob­je­mu pa­mä­te (inter­nej či exter­nej, do­kon­ca i ce­lý inter­net) a dĺžky slo­va (pa­mä­ťo­vej bun­ky) mô­že pra­co­vať v ko­neč­nom ča­se len s ko­neč­ným poč­tom čí­sel (ce­lých, ra­cio­nál­nych, resp. ob­jek­tov z inej spo­čí­ta­teľ­nej us­po­ria­da­nej mno­ži­ny, napr. re­ťaz­ce a dá­tu­my). Je ur­či­te prí­no­som mať v ar­chi­tek­tú­re po­čí­ta­čov pr­vky rep­re­zen­tu­jú­ce ne­ko­neč­no a ne­de­fi­no­va­né (ne­napl­ne­né, NULL...) hod­no­ty s úpl­nou arit­me­ti­kou. Aj ke­by to bo­lo len na zvý­še­nie zro­zu­mi­teľ­nos­ti a vy­jad­ro­va­cích mož­nos­tí v prog­ra­mo­va­cích ja­zy­koch. Ako už bo­lo naz­na­če­né, nie je to zďa­le­ka všet­ko.

Za­tiaľ to vy­ze­rá ako pre­chádz­ka ru­žo­vým sa­dom, ale pre po­zor­né­ho či­ta­te­ľa jed­na otáz­ka:

Čo sa sta­ne, ak k čís­lu, kto­ré­ho bi­to­vá rep­re­zen­tá­cie ur­ču­je naj­väč­šie čís­lo v po­čí­ta­či, pri­po­čí­ta­me 1? Mož­né rie­še­nie a prak­tic­ká reali­zá­cia sa po­nú­ka, sta­čí uva­žo­vať hod­no­tu Φ.

Pô­vod­ná teo­re­tic­ká ro­vi­na tým však dos­ta­la váž­ne trhli­ny. Či chce­me ale­bo nie, s ko­neč­nos­ťou na úrov­ni prog­ra­mo­va­nia mu­sí­me po­čí­tať, i keď syn­tax by nás zvá­dza­la k nie­čo­mu iné­mu.

Prí­pa­dy pre­te­če­nia však mô­žu byť reali­zo­va­né in­tui­tív­ne dob­re, te­da ich vý­sled­kom bu­de Φ ( nu­li­ta, ne­de­fi­no­va­ná hod­no­ta, NULL, po­diel 0/0 pod­ľa to­ho, čo sa nám viac pá­či).

V zá­ve­reč­nej úva­he sa vráť­me k čís­lam. Ozna­čme min naj­men­šie po­čí­ta­čo­vé zá­por­né čís­lo a max naj­väč­šie po­čí­ta­čo­vé klad­né čís­lo. Všim­ni­me si nas­le­du­jú­cich osem čí­sel roz­de­le­ných na dvo­ji­ce:

(0, Φ)    (1, ∞)    (-1, -∞)    (min, max)

Tých­to osem čí­sel mô­že­me po­va­žo­vať za zá­klad­né pr­vky v no­vej po­čí­ta­čo­vej arit­me­ti­ke. Na­vy­še jed­not­li­vé zlož­ky v kaž­dej dvo­ji­ci vý­zna­mo­vo, konštruk­čne ale­bo z hľa­dis­ka bi­to­vej rep­re­zen­tá­cie úz­ko sú­vi­sia.

Li­te­ra­tú­ra
[1] Čes­ký ča­so­pis Epo­cha čís­lo 16/07, člá­nok 1200 let sta­rá otáz­ka vy­řeše­na! Nu­lou lze dělit!, autor Da­li­bor No­vák

[2] Do­ku­men­ty Ja­me­sa An­der­so­na:
www.boo­kof­pa­ra­gon.com/Pa­ges/Pa­pers.htm

Autor: J. Niž­nan­ský

Zdroj: TS PCR

---

 

---